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烏有國王遇到了個難題:國王與毒酒

數學加   2019-03-04 16:40   瀏覽次數:

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燒腦子的趣味數學題:國王與毒酒。這個故事的內容是這樣的:500桶酒,其中1桶是毒酒;48小時后要舉行酒會;毒酒喝下去會在之后的第23-24小時內毒死人;國王決定用囚犯來試酒,不介意囚犯死多少,只要求用最少的囚犯來測試出哪一桶是毒酒,問最少需要多少囚犯才能保證找出毒酒?請諸位自序們為烏有國王出個主意!

    燒腦子的趣味數學題:國王與毒酒。這個故事的內容是這樣的:500桶酒,其中1桶是毒酒;48小時后要舉行酒會;毒酒喝下去會在之后的第23-24小時內毒死人;國王決定用囚犯來試酒,不介意囚犯死多少,只要求用最少的囚犯來測試出哪一桶是毒酒,問最少需要多少囚犯才能保證找出毒酒?請諸位自序們為烏有國王出個主意!




    分析與解答

    答案:只需要2名囚犯就可以保證找出毒酒。

    這是一道很有意思的題目。

    首先我們看題目說囚犯喝下毒酒后23~24小時毒發,自然就會想,23人夠嗎?顯然23人是可以的(每人喝22種酒,在23~24小時內毒死一人,確定毒酒在這22種之內,剩下22人每人喝一種,在46~48小時內就可以確定毒酒),問題是23人是最少的人數嗎?

    題友們可能會聯想到之前我們發過一道類似的題,用老鼠試毒藥(公眾號中回復 老鼠與毒藥 查看),背后的思路是二進制編碼,所以那題用10只老鼠就可以在1000瓶水中找出1瓶毒藥(因為21o=1024>1000)。那么本題只需從500桶酒中找出1桶毒酒,理應用更少的人。  根據上題的思路,9人就可以找出毒酒(用二進制編碼,29=512>500),問題是9人是最少的人數嗎?(具體的方法可在公眾號中回復 老鼠與毒藥 參考該期問題的方法)

    再讀一下題目,發現本題和老鼠試毒藥題除了測試樣本數量不同以外,還有中毒時間的不同。本題的中毒時間為23~24小時,而共有48小時可以測試,也就是說可以測試兩輪,于是測試人數可以減少到8人(2^8×2=512>500),那么8人就是最少的人數了嗎?

    進一步思考,我們發現,可以把500桶酒分成32組(25=32),每組15~16桶(24=16),第一輪5個人在23~24小時判斷出毒酒在哪一組(25=32),毒死一人,第二輪剩下的4人在46~48小時判斷出毒酒是哪一桶(24=16)。這樣看來,5人應該是最少的測試人數了。

    以上的方法背后的思路都是二進制,有沒有其他思路呢?本題的死亡時間非常精確,在23~24小時之間,又有什么用處呢?下面請看題友會微信群里(回復 題友會 可查看加入方法)的大神們的奇思妙解:“兩個囚犯就夠了!把500桶酒擺成23×23的矩陣(實際上23×22=506已經超過500)。囚犯A每隔一小時喝一行的取樣混合液,囚犯B每隔一小時喝一列的取樣混合液,然后根據兩人的死亡時間,就可以確定毒酒是哪桶了。”

    本題很容易和前面老鼠試毒藥的題混淆,誤以為都可以利用二進制方法找出最佳解。實際上本題因為死亡時間的精確性、毒發時間與測試時間的時間差,使建立坐標成為可能。換一種思路,也許你就會發現一片新的天地。

    拓展思維:  

    (1)如果需要測試的酒的數量有10000桶,那么最少需要幾名囚犯呢?

    (2)如果需要測試的毒酒的數量有2桶,那么最少需要幾名囚犯呢?

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王老師

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